Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и - Страница 155

К оглавлению

155

Диаметр молекулы. Соотношение πDL = D

Между средним свободным пробегом L и диаметром d существует однозначная связь: чем больше d, тем больше площадь мишени при столкновении и тем меньше длина свободного пробега. Можно показать, что πDL = объему, который в среднем приходится на одну молекулу в газе, т. е. D. Геометрическое доказательство изложено ниже. Затем мы воспользуемся этим результатом для вычисления диаметра d из L и отношения объемов D/d.

* * *

Вычисление случайных блужданий («путь пьяницы»)

Молекулы брома мечутся между молекулами, воздуха, получая удар за ударом и меняя направление после каждого из них. Насколько при этом им удается в среднем продвинуться вперед?

Образец подобного движения можно понаблюдать на примере пьяного человека, возвращающегося туманной ночью с вечеринки. Выпустив из объятий фонарный столб, он делает один шаг, затем забывает о нем и делает второй, но уже в другом направлении, забывает и о нем и делает третий шаг… и так далее — N шагов в совершенно произвольных направлениях. На какое расстояние он отдалится от спасительного фонарного столба? Он может вернуться опять к столбу или оказаться очень близко от него. Он может отойти от столба на N шагов (в том редком случае, когда все шаги устремлены в одном направлении), но это маловероятна. Его перемещение по прямой лежит между 0 и N шагами. Мы же хотим найти среднюю величину перемещения, усредненную по множеству таких продвижений, состоящих из N шагов.

Пусть человек вновь и вновь повторяет свою «прогулку» сначала. После каждой прогулки мы будем измерять его перемещение S. Усредним S по этим прогулкам. Для удобства будем искать среднее значение S, а затем извлечем квадратный корень, получив среднее квадратичное значение. Покажем, что это среднее должно приближаться к √N шагов (Например, если за основу берем 100 шагов, то ожидаем, что человек уйдет только на 10 шагов от начального места.) Вот доказательство в двумерном случае (трехмерный случай рассматривается так же).

Нарисуем несколько первых шагов хаотического движения. Пусть длина каждого шага равна L, а всего имеется N шагов. Воспользовавшись координатами х и у, разложим первый шаг на компоненты х и у, второй шаг на компоненты х и у и т. д. Для первого шага х + у = L, аналогично и для других шагов. Компоненты х и у перемещения S будут соответственно равны

(x + x +… + x)

и

(y + y +… + y),



...

S = (x + x +… + x)+ (y + y +… + y) =

= х + x +… + 2хx+ 2хx +… + y + y +… + 2yy+ 2yy +… =

= L+ L+ НУЛЬ = N∙L

«Смешанные слагаемые», наподобие 2хx, при усреднении по многим блужданиям дают нуль, ибо эти слагаемые могут одинаково часто быть как положительными, так и отрицательными и иметь величину от 0 до 2L. То же справедливо и для «смешанных слагаемых» с у. Поэтому среднее значение S = √(N)∙L



...

Доказательство станет нагляднее, если применит тригонометрию и разложить каждый шаг на горизонтальную и вертикальную компоненты: L∙cos θ и L∙sin θ. Тогда пара смешанных слагаемых, наподобие 2L∙cos θ∙cos θ и 2L∙sin θ∙sin θ, складывается в 2L∙cos (θ — θ), а косинус одинаково часто бывает как положительным, так и отрицательным, давая в среднем нуль.

* * *

При столкновении двух молекул расстояние между их центрами равно радиусу одной + радиус второй молекул, т. е. диаметру d. Для упрощения будем считать, что радиус одной из сталкивающихся молекул равен d, а вторая молекула — просто точка (фиг. 101).



Фиг. 101. Упрощенная геометрия свободного пробега.


Расстояние между их центрами при соударении прежнему будет d. Представим теперь, что мы стреляем точечной молекулой по системе из ячеек с ребром D, каждая из которых содержит по одной молекуле-мишени радиусом d (фиг. 102). Летящая молекула проходит первый ряд ячеек, но, вероятнее всего, не попадает в цель, которая находится где-то внутри ячейки.



Фиг. 102. Средний свободный пробег.


...

Другой способ рассуждений. Вместо «раздувания» молекулы-мишени можно выстрелить «раздутой» молекулой, сжав остальные молекулы в точки, когда площадь поперечного сечения летящей молекулы равна πd. Во время полета она заполняет трубку с таким поперечным сечением; при каждом столкновении эта трубка изгибается (фиг. 103).



...

Когда в такую «трубку» попадает молекула-мишень, происходит столкновение, а не попавшие в трубку молекулы остаются «за бортом». Между двумя последовательными соударениями молекула пролетает средний свободный пробег, так что заполненный объем равен

(ПЛОЩАДЬ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ) ∙ (СРЕДНИЙ СВОБОДНЫЙ ПРОБЕГ),

155